先后抽签是否公平？ - 知乎

　　十个人抽签，两张是中的，第一个人抽完后摊开宣布结果，不放回去，依次往下，此游戏第一个和第七个中签的概率是否一样，是否公平?各位，这是公平的，至少实际发生的概率是一样的。。解释有点麻烦，嘛，无关痛痒，散了。。。

　　说不公平的回去重读概率论。

　　对于不同的受众，给出三种解释。

　　生活例子：很多抽奖都是这种情况，肯定不会不公平。

　　直观例子：如果大家不公开结果，到最后再一起公开，显然是公平的。而且这个问题和题目的问题可以看做相同的，因为手中的签显然不会自己变化（谁跟我扯薛定谔的猫我掐死谁，宏观低速）

　　数学证明：条件概率，下略。不会的自己重读概率论。

　　还是要重读概率。

　　【假如第一个人抽了，没中，第二个人就是从剩余的9张牌中抽取，所以抽中的概率就变成是9/10*2/9=1/5】

　　第一个抽签者抽到签的概率显然为1/5；

　　第二个抽签者抽到的概率用条件概率的方法计算，即第一人抽到的条件下第二人抽到和第一人没抽到而第二人抽到的概率之和：1/5*1/9+4/5*2/9=1/5；

　　第三个人同理可得：1/5*8/9*1/8+4/5*2/9*1/8+4/5*7/9*2/8=1/5。

　　以此类推。

　　这个问题的难点在于读者容易带入抽签者角色，他或许会以为之前抽签者夺走了他的机会，从而忘记了概率的意义。

　　举个俄罗斯轮盘赌的栗子：一把可装弹6枚的左轮装了一颗子弹，那么第六个接过枪的人是必死了。然而在此之前已经发生了五个事件，回到子弹装好的那一刻，他还是有1/6的概率存活。

　　所以这是个心理学问题。

　　这个问题的核心要素不在于，放不放回，第几个抽签，而只在于签抽后之后是否公布结果。每个人的抽签结果都是中和不中的叠加态，公布结果，就使得结果坍缩成某一特定事实，随着抽签者陆续公布结果，后面的人的结果也就越来越确定了。

　　因此我抽中的概率只等于我 能 抽中的概率

　　那么对于第一个人抽中的概率显然是1/10，对于第二个人来说，如果他能够抽中，则隐含了一个前提，即第一个人没抽中，因此第二个人抽中的概率是两个相互独立事件同时发生的概率

　　P（第二个人抽中）=P（第一个人没中）*（第二个人抽中）=9/10 * 1/9= 1/10

　　以此类推

　　P（第十个人抽中）=9/10 * 8/9 * 7/8 *.........* 1/2 =1/10

　　如果公布结果的话，就变成了既定情况，某个人抽中后，后面的还玩啥啊，抽啥啊，咋抽都是0，散了吧，回家洗洗睡了。

　　P（第一个人抽中）= 3/10

　　P（第二个人抽中）= P（第一人抽中）* P（第二人抽中）+ P（第一人没中）* P（第二个人抽中）= 3/10 * 2/9 + 7/10 * 3/9 = 3/10

　　P（第十个人抽中）= 前九个人分类讨论情况相加=3/10

　　通过这个例子，我们可以意识到，如果公布结果，那么互斥事件发生的情况就会被改变，后面的人抽中概率就不再是不确定的了，比如第二个人的概率就只能是特定的3/10 * 2/9 或是 7/10 * 3/9

　　所有签共有a+b张，那么这些签的排列顺序共有 (a+b)! 种排列方式，第k位的小明抽中的必须是a张中的一个，则第K位的小明抽中的情况有a种，那么排除掉小明抽调的这一张，剩下的所有签排列方式有 (a+b-1)! 种，因此小明抽中的概率为：

　　P（小明抽中）= a * (a+b-1)!/ (a+b)! = a/(a+b)

　　上图。

　　公布结果对心情有影响。

　　《概率论与数理统计》（浙大第四版13页）